Гипотеза Грэма 1971 года о различных частичных суммах доказана в четырёх работах к 2026 году

Гипотеза, поставленная в 1971 году математиком Рональдом Грэмом, решена в доказательстве из четырёх работ, сообщает wired.com со ссылкой на Quanta Magazine. Последняя работа, авторы которой Лиза Зауэрманн из Боннского университета и Хюи Туан Фам из Чикагского университета, вышла в феврале 2026 года и официально закрыла задачу wired.comwired.comwired.comОткрыть источник ↗.

Грэм спрашивал, можно ли любой набор различных ненулевых целых чисел переставить так, чтобы все частичные суммы (первых двух чисел, первых трёх и так далее) были разными. Для положительных чисел, а также для смеси положительных и отрицательных ответ был известен: да. Открытым оставался случай арифметики по простому модулю p, где числа «замыкаются» как на циферблате, а кратные p эквивалентны нулю.

Большие и малые наборы

Сложность зависит от размера набора относительно p. Алп Мюесер из Оксфордского университета и Алексей Покровский из Университетского колледжа Лондона разобрали наборы, включающие почти все возможные числа до p. Они начинали со случайного порядка и откладывали несколько специально выбранных чисел. Если участок порядка давал в сумме ноль, что повторило бы частичную сумму, они вставляли запасное число и разрушали его. Результат опубликован в 2022 году внутри работы о более общей задаче.

Ноа Кравиц и Бенджамин Бедерт из Оксфорда подошли с другой стороны: наборы, крошечные по сравнению с p, например 100 чисел при p, равном 1 миллиарду. Своё доказательство они опубликовали в сентябре 2024 года wired.comwired.comwired.comОткрыть источник ↗.

Закрытие пробела

Затем Кравиц и Бедерт объединились с Мюесером и ещё двумя коллегами, чтобы расширить прежний подход. Их работа, опубликованная в августе 2025 года, охватила больше случаев, где набор относительно велик по сравнению с p. Оставался пробел для наборов среднего размера, например с примерно вдвое меньшим числом элементов, чем p; по словам Мюесера, существующие методы там не работали.

Зауэрманн и Фам познакомились в 2015 году в Стэнфордском университете. В сентябре 2025 года они участвовали в конференции в Германии, где прослушали два доклада о гипотезе Грэма от математиков, которые пытались её доказать, но не смогли. Затем Фам приехал к Зауэрманн в Бонн. Их работа вышла в феврале 2026 года.

Грэм был также президентом Американского математического общества и Международной ассоциации жонглёров. Некоторые математики теперь считают, что вопрос мог быть подсказан жонглированием: если каждый мяч остаётся в воздухе разное время, можно ли упорядочить броски так, чтобы два мяча не упали в один такт wired.comwired.comwired.comОткрыть источник ↗.