Уильям Чан из ТУ Вена упорядочил множества функций между бесконечными множествами по двум координатам при аксиоме определённости
При аксиоме определённости и дополнительном допущении размеры множеств функций сравнивают по областям определения и значений. Результат охватывает лишь часть бесконечных кардиналов.
Математик Уильям Чан из Технического университета Вены (Австрия) показал, что при аксиоме определённости мощности некоторых множеств функций между бесконечными множествами можно сравнивать по двум параметрам: размеру области определения и размеру области значений. Доказательство опубликовано в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences doi.org
Proceedings of the National Academy of Sciencesdoi.orgОткрыть источник ↗. Оно верно лишь ниже границы, заданной через сюръекции на ординалы, и требует дополнительного допущения помимо аксиомы определённости
doi.org
Proceedings of the National Academy of Sciencesdoi.orgОткрыть источник ↗.
Сравнение бесконечных множеств без аксиомы выбора
Множества сравнивают по мощности: два множества равны по размеру, если их элементы можно сопоставить один к одному. Это работает и для бесконечных множеств. Каждому натуральному числу можно поставить в пару чётное число без остатка, поэтому оба множества равномощны, тогда как вещественные числа полностью сопоставить натуральным нельзя.
В привычной схеме аксиома выбора позволяет вполне упорядочить любое множество, и мощности выстраиваются как ступени лестницы. Чан вместо неё использует аксиому определённости, которая несовместима с аксиомой выбора. Она утверждает, что в каждой бесконечной игре двух игроков у одного из них есть выигрышная стратегия. В этих играх игроки по очереди строят бесконечную последовательность чисел doi.org
Proceedings of the National Academy of Sciencesdoi.orgОткрыть источник ↗.
Гипотеза ABCD и границы результата
Кардинальное возведение в степень — это множество всех функций из одного кардинала в другой. Его размер определяют размер области определения и размер области значений, которые можно трактовать как координаты на карте. Гипотеза ABCD формулирует правило сравнения таких множеств функций для бесконечных кардиналов doi.org
Proceedings of the National Academy of Sciencesdoi.orgОткрыть источник ↗.
Как описано, если и область определения, и область значений не меньше, чем у другого множества функций, то и его мощность не меньше. Если одна область растёт, а другая уменьшается, мощности несравнимы. Получается двумерный частичный порядок, а не единая лестница. В работе показано: если выполнены аксиома определённости и дополнительное допущение, гипотеза ABCD верна ниже этой границы doi.org
Proceedings of the National Academy of Sciencesdoi.orgОткрыть источник ↗.
Классификации всех бесконечностей результат не даёт. Он также не решает континуум-гипотезу, которую после работ Курта Гёделя и Пола Коэна нельзя ни доказать, ни опровергнуть из обычных аксиом теории множеств. Чан называет подход удивительно простым и плодотворным способом заново осмыслить упорядочение бесконечных множеств.
