# Уильям Чан из ТУ Вена упорядочил множества функций между бесконечными множествами по двум координатам при аксиоме определённости

- Опубликовано: 2026-11-05 16:39 UTC
- Раздел: Наука › Исследования
- Теги: аксиома определённости, гипотеза ABCD, кардинальное возведение в степень, бесконечные множества, Уильям Чан, ТУ Вена, теория множеств, аксиома выбора, частичный порядок кардиналов
- Адрес: https://realtech.media/ru/news/rt-514ecd22f3fbbf626936f25e_uilyam_chan_iz/

**При аксиоме определённости и дополнительном допущении размеры множеств функций сравнивают по областям определения и значений. Результат охватывает лишь часть бесконечных кардиналов.**

![William Chan of TU Wien orders sets of functions between infinite sets by two coordinates under the Axiom of Determinacy](https://sgzwpqqelzmajkcubgkl.supabase.co/storage/v1/object/public/rt-media/2026/11/48442afd8de3901d.webp)
*scinexx*

Математик Уильям Чан из Технического университета Вены (Австрия) показал, что при аксиоме определённости мощности некоторых множеств функций между бесконечными множествами можно сравнивать по двум параметрам: размеру области определения и размеру области значений. Доказательство опубликовано в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences [1]. Оно верно лишь ниже границы, заданной через сюръекции на ординалы, и требует дополнительного допущения помимо аксиомы определённости [1].

## Сравнение бесконечных множеств без аксиомы выбора

Множества сравнивают по мощности: два множества равны по размеру, если их элементы можно сопоставить один к одному. Это работает и для бесконечных множеств. Каждому натуральному числу можно поставить в пару чётное число без остатка, поэтому оба множества равномощны, тогда как вещественные числа полностью сопоставить натуральным нельзя.

В привычной схеме аксиома выбора позволяет вполне упорядочить любое множество, и мощности выстраиваются как ступени лестницы. Чан вместо неё использует аксиому определённости, которая несовместима с аксиомой выбора. Она утверждает, что в каждой бесконечной игре двух игроков у одного из них есть выигрышная стратегия. В этих играх игроки по очереди строят бесконечную последовательность чисел [1].

## Гипотеза ABCD и границы результата

Кардинальное возведение в степень — это множество всех функций из одного кардинала в другой. Его размер определяют размер области определения и размер области значений, которые можно трактовать как координаты на карте. Гипотеза ABCD формулирует правило сравнения таких множеств функций для бесконечных кардиналов [1].

Как описано, если и область определения, и область значений не меньше, чем у другого множества функций, то и его мощность не меньше. Если одна область растёт, а другая уменьшается, мощности несравнимы. Получается двумерный частичный порядок, а не единая лестница. В работе показано: если выполнены аксиома определённости и дополнительное допущение, гипотеза ABCD верна ниже этой границы [1].

Классификации всех бесконечностей результат не даёт. Он также не решает континуум-гипотезу, которую после работ Курта Гёделя и Пола Коэна нельзя ни доказать, ни опровергнуть из обычных аксиом теории множеств. Чан называет подход удивительно простым и плодотворным способом заново осмыслить упорядочение бесконечных множеств.

## Источники

1. [Proceedings of the National Academy of Sciences](https://doi.org/10.1073/pnas.2621223123)
2. [scinexx](https://www.scinexx.de/news/physik/zwei-koordinaten-ordnen-verschiedene-unendlichkeiten-der-mathematik)

---

Источник: RealTech, realtech.media — https://realtech.media/ru/news/rt-514ecd22f3fbbf626936f25e_uilyam_chan_iz/